Entiendo que hacer el despido no procede todavía, al no haber expirado la tarjeta Roja. En cuanto al tema de la notificación, el abogado le habrá aconsejado no recogerla porque, si es la desestimación de asilo -que todo apunta a que lo es- en ella, Extranjería le indica lo siguietente: : «...la salida obligatoria del territorio español deberá efectuarse en el plazo de quince días desde la notificación de la presente resolución». (sic).
Mi forma de proceder sería notificarle, a través de un medio fehaciente, que debe presentaros la renovación de la tarjeta Roja. Le diría algo así:
« ...Dado que el trabajador necesita tener vigente su permiso de residencia y trabajo para poder desarrollar una actividad laboral en España, el contrato que mantenemos con Ud. queda vinculado a que se mantenga este permiso en vigor, por cuanto le rogamos que a la expiración de la tarjeta Roja (25/07/2024), nos traiga sin dilación su renovación.
Así mismo, le recordamos que LA PERDIDA DEL PERMISO DE TRABAJO DEL TRABAJADOR SERA CAUSA DE EXTINCIÓN DEL PRESENTE CONTRATO, sin perjuicio de la liquidación de haberes que hasta ese momento le pueda corresponder». etc..
Si hace un recurso potestativo de reposición (que te dé copia), Extranjería tiene 30 días para dictar Resolución, Mientras, le mantiene el permiso de trabajo. No creo que haga uno de Alzada, por lo que, pasados esos 30 días, yo, personalmente, le despedía.
En cuanto a lo de pedir el permiso por arraigo, supongo que se refiere arraigo laboral (a no ser que se haya hecho pareja de hecho, casado o le haya salido un hermano, que ya todo es posible...). En cualquier caso, que te dé el expediente. De este sí que se puede hacer seguimiento. Ya te diríé como.
Si te da largas y no te entrega nada, la última semana de julio yo, personamente, le despedía. Ya quedó notificado.